Яке рівняння задає пряму?
називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Будь-яка пряма, не перпендикулярна до осі, може бути визначена цим рівнянням. Пряма, перпендикулярна осі абсцис, задається рівнянням . Зазначимо, що вертикальна пряма перестав бути графіком функції.
Отже, рівнянням можна описати не будь-яку пряму. Цього недоліку немає у так званого загального рівняння прямої
Якщо , то одержуємо рівняння вертикальної прямої. Якщо ж , то Таким чином, кутовий коефіцієнт прямої в цій системі позначень задається як
Зафіксуємо на графіку лінійної функції точку. Нехай довільна точка графіка. З трикутника легко побачити, що рівняння
називається рівнянням прямої із заданим кутовим коефіцієнтом, що проходить через дану точку .
Зафіксуємо тепер на графіку лінійної функції дві точки: і З трикутника випливає, що Таким чином, рівняння
Повернемося тепер знову до загального рівняння прямої, де. Його можна перетворити на вигляд Це рівняння перетинає координатні осі в точках і . у чому легко переконатися, підставивши координати цих точок рівняння прямої. Отримане рівняння називається рівнянням прямою у відрізках:
Рівняння прямої
Пряма (пряма лінія) - це нескінченна лінія, якою проходить найкоротший шлях між будь-якими двома її точками.
Рівняння прямої на площині
Будь-яку пряму на площині можна поставити рівнянням прямої першого ступеня виду
де A і B не можуть одночасно бути рівними нулю.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Загальне рівняння прямої при B≠0 можна привести до вигляду
де k - кутовий коефіцієнт рівний тангенсу кута, утвореного даної прямої та позитивним напрямом осі ОХ.
Рівняння прямої у відрізках на осях
Якщо пряма перетинає осі OX і OY в точках з координатами (a, 0) і (0, b), то вона може бути знайдена, використовуючи формулу рівняння прямої у відрізках
Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки на площині
Якщо пряма проходить через дві точки M(x 1, y 1) та N( x 2, y 2), такі що x 1 ≠ x 2 та y 1 ≠ y 2, то рівняння прямої можна знайти, використовуючи таку формулу
Параметричне рівняння прямої на площині
Параметричні рівняння прямої можуть бути записані таким чином
x = l t + x 0 y = m t + y 0
де N(x 0, y 0) - координати точки, що лежить на прямій, a = < l , m >- координати напрямного вектора прямий.
Канонічне рівняння прямої на площині
Якщо відомі координати точки N( x 0, y 0) що лежить на прямій і напрямного вектора a = ( l і m не дорівнюють нулю), то рівняння прямої можна записати в канонічному вигляді, використовуючи таку формулу
Рішення. Скористаємося формулою для рівняння прямої, що проходить через дві точки
Спростивши це рівняння отримаємо канонічне рівняння прямої
Виразимо y через x і отримаємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Знайдемо параметричне рівняння прямої. Як напрямний вектор можна взяти вектор MN.
Взявши в якості координат точки, що лежить на прямій, координати точки М, запишемо параметричне рівняння прямої
Рішення. Оскільки M y - N y = 0, то неможливо записати рівняння прямої, що проходить через дві точки.
Знайдемо параметричне рівняння прямої. Як напрямний вектор можна взяти вектор MN.
Взявши в якості координат точки, що лежить на прямій, координати точки М, запишемо параметричне рівняння прямої
Рівняння прямої у просторі
Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки у просторі
Якщо пряма проходить через дві точки M(x 1, y 1, z 1) та N( x 2, y 2, z 2), такі що x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 та z 1 ≠ z 2, то рівняння прямої можна знайти, використовуючи наступну формулу
Параметричне рівняння прямої у просторі
Параметричні рівняння прямої можуть бути записані таким чином
де (x 0, y 0, z 0) - координати точки, що лежить на прямій, - координати напрямного вектора прямий.
Канонічне рівняння прямої у просторі
Якщо відомі координати точки M(x 0, y 0, z 0) що лежить на прямій і напрямного вектора n = , то рівняння прямої можна записати в канонічному вигляді, використовуючи таку формулу
Пряма як лінія перетину двох площин
Якщо пряма є перетином двох площин, її рівняння можна задати наступною системою рівнянь
за умови, що немає рівності
Загальне рівняння прямий: опис, приклади, розв'язання задач.
Нехай дані дві точки М 1 (х 1, у 1) і М 2 (х 2, у 2) . Запишемо рівняння прямої у вигляді (5), де k поки невідомий коефіцієнт:
Так як точка М 2 належить заданої прямої, її координати задовольняють рівнянню (5): .
Якщо це рівняння можна переписати у вигляді, зручнішому для запам'ятовування:
приклад. Записати рівняння прямої, що проходить через точки М 1 (1,2) та М 2 (-2,3)
Рішення . Використовуючи властивість пропорції, і виконавши необхідні перетворення, отримаємо загальне рівняння прямої:
Кут між двома прямими
Розглянемо дві прямі l 1 і l 2 :
φ-кут між ними (). З рис.4 видно: .
За допомогою формули (7) можна визначити один із кутів між прямими. Другий кут дорівнює.
приклад . Дві прямі задані рівняннями у=2х+3 та у=-3х+2. знайти кут між цими прямими.
Рішення . З рівнянь видно, що k1 = 2, а k2 = -3. підставляючи дані значення формулу (7), знаходимо
. Таким чином, кут між даними прямими дорівнює .
Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих
Якщо прямі l 1 і l 2 паралельні, то φ=0 і tgφ=0 . з формули (7) випливає, що , звідки k 2 =k 1 . Таким чином, умовою паралельності двох прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів.
Якщо прямі l 1 і l 2 перпендикулярні, то φ=π/2 , α 2 = π/2+ α 1 . . Таким чином, умова перпендикулярності двох прямих полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною та протилежні за знаком.
Відстань від точки до прямої
Теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як
Доказ. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:
Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:
Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій.
Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:
приклад. Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x+1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p/4.
приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.
Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.
приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.
Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4x = 6y - 6;
Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.
k=. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .
Відстань від точки до прямої визначається довжиною перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.
Якщо пряма паралельна площині проекції (h | | П 1) , то для того щоб визначити відстань від точкиА до прямої h необхідно опустити перпендикуляр з точки А на горизонталь h .
Розглянемо складніший приклад, коли пряма займає загальне становище. Нехай необхідно визначити відстань від точки М до прямоїа загального становища.
Завдання визначення відстані між паралельними прямими вирішується аналогічно до попередньої. На одній прямій береться точка, з неї опускається перпендикуляр в іншу пряму. Довжина перпендикуляра дорівнює відстані між паралельними прямими.
Кривий другого порядку називається лінія, яка визначається рівнянням другого ступеня щодо поточних декартових координат. У випадку Ах 2 + 2Вху +Су 2 + 2Дх + 2Еу +F = 0,
де А, В, С, Д, Е, F – дійсні числа і, принаймні, одне з чисел А 2 +В 2 +С 2 ≠0.
Центр кола – це геометричне місце точок у площині, що стоять від точки площини С(а,b).
Окружність задається наступним рівнянням:
Де х,у - координати довільної точки кола, R - радіус кола.
Ознака рівняння кола
1. Відсутня доданок з х,у
2.Рівні Коефіцієнти при х 2 і 2
Еліпсом називається геометричне місце точок у площині, сума відстаней кожної з яких від двох даних точок цієї площини називається фокусами (постійна величина).
Канонічне рівняння еліпса:
Х і у належать еліпсу.
а – велика піввісь еліпса
b – мала піввісь еліпса
У еліпса 2 осі симетрії ОХ та ОУ. Осі симетрії еліпса – його осі, точка їхнього перетину – центр еліпса. Та вісь на якій розташовані фокуси, називається фокальною віссю . Крапка перетину еліпса з осями – вершина еліпса.
Коефіцієнт стиснення (розтягування): ε = с/а – ексцентриситет (характеризує форму еліпса), що він менше, тим менше витягнутий еліпс вздовж фокальної осі.
Якщо центри еліпса перебувають над центрі З(α, β)
Гіперболою називається геометричне місце точок у площині, абсолютна величина різниці відстаней, кожна з яких від двох даних точок цієї площини, званих фокусами, є величина постійна, відмінна від нуля.
Канонічне рівняння гіперболи
Гіпербола має 2 осі симетрії:
а – дійсна піввісь симетрії
b – уявна піввісь симетрії
Асимптоти гіперболи:
Параболою називається геометричне місце точок у площині, рівновіддалених від даної точки F, яка називається фокусом і даною прямою, званою директрисою.
Канонічне рівняння параболи:
У 2 = 2рх, де р - Відстань від фокусу до директриси (параметр параболи)
Якщо вершина параболи (α, β), то рівняння параболи (у-β) 2 =2р(х-α)
Якщо фокальну вісь прийняти за вісь ординат, то рівняння параболи набуде вигляду: х 2 =2qу
Ця стаття є частиною теми рівняння прямий на площині . від загального рівняння прямий до інших видів рівняння цієї прямої та наведемо докладні рішення характерних завдань на складання загального рівняння прямої.
Загальне рівняння прямої – основні відомості.
Розберемо цей алгоритм під час вирішення прикладу.
Напишіть параметричні рівняння прямої, яка задана загальним рівнянням прямої .
Спочатку наведемо вихідне загальне рівняння прямої до канонічного рівняння прямої:
Тепер приймаємо ліву та праву частини отриманого рівняння рівними параметру.
З загального рівняння прямої виду отримати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом можливо лише тоді, коли . Що потрібно зробити для переходу? друге, розділити обидві частини отриманої рівності на число B, яке відмінно від нуля, .
Пряму в прямокутній системі координат Oxy задає загальне рівняння прямої .
Проведемо необхідні дії: .
Коли пряма задана повним загальним рівнянням прямий, то легко отримати рівняння прямий у відрізках виду . y:
Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.
приклад . Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно до вектора (3, -1).
Рішення . Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже С = -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.
Рівняння пряме, що проходить через дві точки
Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:
Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. На площині записане вище рівняння прямої спрощується
якщо х 1 ≠ х 2 і х = х 1 якщо х 1 = х 2 .
Дроб = k називається кутовим коефіцієнтом прямий.
приклад . Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).
Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:
Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом
Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:
і позначити , то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k .
Рівняння прямої по точці та напрямному вектору
За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання прямої через точку і напрямний вектор прямої.
Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові А α 1 + В α 2 = 0 називається напрямним вектором прямої
приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).
Рішення. Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови:
Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:
Рівняння прямої у відрізках
Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо: або
Геометричний зміст коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b - Координацією точки перетину прямої з віссю Оу.
приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.
Нормальне рівняння прямої
Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число, яке називається нормуючим множником , то отримаємо
нормальне рівняння прямої. Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ*С
